Movimiento parabólico

Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme. También es posible demostrar que puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos, un movimiento rectilíneo uniformehorizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.

Tipos:

El movimiento de media parábola o semiparabólico (lanzamiento horizontal): se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre.
El movimiento parabólico completo: se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad.

En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:

Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.
La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos.
Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.

Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:

$\vec{V_0} = V_0 \, \cos{\phi} \, \hat{i} + V_0 \, \sin{\phi} \, \hat{j}$
$\vec{a} = -g \, \hat{j}$

donde:

$V_0 \,$ es el módulo de la velocidad inicial.

$\phi \,$ es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.

$g \,$ es la aceleración de la gravedad.

La velocidad inicial se compone de dos partes:

$V_0 \, \cos{\phi}$ que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.

En lo sucesivo $V_{0x} \,$

$V_0 \, \sin{\phi}$ que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.

En lo sucesivo $V_{0y} \,$

Se puede expresar la velocidad inicial de este modo:

$\vec{V_0} = V_{0x} \, \hat{i} + V_{0y} \, \hat{j}$ : [ecu. 1]

Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicial.

Ecuación de la aceleración

La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:

$\vec{a} = -g \, \hat{j}$

que es vertical y hacia abajo.

Ecuación de la velocidad

La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica se puede obtener integrando la siguiente ecuación:

$\begin{cases} \vec{a} = \cfrac{d\vec{v}}{dt} = -g \hat{j} \\ \vec{v}(0) = V_{0x}\hat{i}+V_{0y}\hat{j} \end{cases}$

La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

$\vec{v}(t) = V_{0x}\hat{i}+(V_{0y}-gt)\hat{j}$

Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la componente horizontal no varía, mientras que la componente vertical sí depende del tiempo y de la aceleración de la gravedad.
Ecuación de la posición

Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con relación al tiempo y de la definición de velocidad, la posición pude ser encontrada integrando la siguiente ecuación diferencial:
$\begin{cases} \vec{v} = \cfrac{d\vec{r}}{dt} = V_{0x}\hat{i}+(V_{0y}-gt)\hat{j} \\ \vec{r}(0) = x_0\hat{i}+y_0\hat{j} \end{cases}$
La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:
$\vec{r} = (V_{0x} \; {t} + x_0)\, \hat{i} + \left(- \frac{1}{2} g {t^2} + V_{0y} \; t+ y_0 \right) \, \hat{j}$

Aquí les dejo una página con animaciones que les explican más visualmente el Movimiento Parabólico:
http://rsta.pucmm.edu.do/tutoriales/fisica/Leccion6/6.1.htm
Un video de Youtube:
http://www.youtube.com/watch?v=dKovgwKYaj4&feature=related
Un juego:
http://www.minijuegos.com/juegos/jugar.php?id=7428

El juego consiste de un cañon en puesto al lado de tu "fortaleza". El bojetivo es protegerla lo más que puedas con tu cañon y con torretas que le vas añadiendo al costado. Ojo que el cañon dispara y es afectado por la gravedad haciendo un movimiento parabólico, que puede ser modificado subiendo de nivel el radio del disparo y la velocidad del misil (Blast Radius y Muzzle Velocity respectivamente).
Cuando la velocidad del misil es mucha, la bala sale disparada formando un movimiento parabólico mínimo. Recuerden que el ángulo que es usado para llegar más lejos sin estrellarse con el piso, es el de 45º (acuerdense de su examen de Física).

Los Saluda Cordialmente: Sebastián Bravo (4to Año de Secundaria)

El Lado Olayino de la Fisica

lunes, 15 de diciembre de 2008